MATERI BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN ARITMATIKA

Pertama kita mulai dari barisan, barisan bilangan adalah urutan dari bilangan yang dibuat berdasarkan aturan tertentu. Sedangkan untuk barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan dimana setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. contoh : 6,9,12,15,…

Selisih bilangan pada barisan aritmatika disebut beda yang biasa disimbolkan dengan huruf b, untuk contoh diatas memiliki nilai beda 3. Dan bilangan yang menyusun suatu barisan disebut suku, dimana suku ke n dari suatu barisan disimbolkan dengan U_n sehingga untuk suku ke 5 dari suatu barisan biasa disebut dengan U₅. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan biasa disimbolkan dengan huruf a.

adversitemens

Jadi bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu U1,U2,U3, … ,Un-1  atau  a, a+b, a+2b, … , a+(n-1)b

Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisan

Pasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama, maka

U₂ = a + b
U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b
U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku ke-90? Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku tersebut.

U₇ = a + 6b
U₂₆ = a + 25b
U9₀ = a + 89b

Sehingga berdasarkan runtutan penjelasan diatas untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :

U_n = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli

DERET ARITMATIKA

Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …

Misalnya kita ambil n suku pertama,  jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas. Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas.

Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga

Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65. Perhatikan bahwa S₅tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

S_n = (a + U_n) × n : 2

Dikarenakan U_n = a + (n – 1)b, sehingga  rumus di atas menjadi

S_n = (2a + (n – 1)b) × n : 2

SISIPAN DAN DERET ARITMATIKA

Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru. Sebagai contoh :

Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……

Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……

Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan rumus berikut :

b1 = b/(k+1)

b1 = beda deret baru

b = beda deret mula-mula

k = banyak bilangan yang disisipkan

TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

1)  Teknik sampling secara probabilitas 

Teknik sampling probabilitas atau random sampling merupakan teknik sampling yang dilakukan dengan memberikan peluang atau kesempatan kepada seluruh anggota populasi untuk menjadi  sampel. Dengan demikian sampel yang diperoleh diharapkan merupakan sampel yang representatif.

Teknik sampling semacam ini dapat dilakukan dengan cara-cara sebagai berikut.

a) Teknik sampling secara rambang sederhana atau random sampling. Cara paling populer yang dipakai dalam proses penarikan sampel rambang sederhana adalah  dengan undian.

b) Teknik sampling secara sistematis (systematic sampling). Prosedur ini berupa penarikan sample dengan cara mengambil setiap kasus (nomor urut) yang kesekian dari daftar populasi.

c) Teknik sampling secara rambang proporsional (proporsional random sampling). Jika populasi terdiri dari subpopulasi-subpopulasi maka sample penelitian diambil dari setiap subpopulasi. Adapun cara peng-ambilannya  dapat dilakukan secara undian maupun sistematis.

d) Teknik sampling secara rambang bertingkat. Bila subpoplulasi-subpopulasi sifatnya bertingkat, cara pengambilan sampel sama seperti pada teknik sampling secara proportional.

e) Teknik sampling secara kluster (cluster sampling) Ada kalanya peneliti tidak tahu persis karakteristik populasi  yang ingin dijadikan subjek penelitian karena populasi tersebar di wilayah yang amat luas. Untuk itu peneliti hanya dapat menentukan sampel wilayah, berupa kelompok klaster yang ditentukan secara bertahap. Teknik pengambilan sample semacam ini disebut cluster sampling atau multi-stage sampling.

2) Teknik sampling secara nonprobabilitas.

Teknik sampling nonprobabilitas adalah teknik pengambilan sample yang ditemukan atau ditentukan sendiri oleh peneliti atau menurut pertimbangan pakar. Beberapa jenis atau cara penarikan sampel secara nonprobabilitas adalah sebagai berikut.

a) Purposive sampling   atau  judgmental sampling  Penarikan sampel secara purposif merupakan cara penarikan sample yang dilakukan memiih subjek berdasarkan kriteria spesifik yang dietapkan peneliti. 

b) Snow-ball sampling (penarikan sample secara bola salju).

Penarikan sample pola ini dilakukan dengan menentukan sample pertama. Sampel berikutnya ditentukan berdasarkan informasi dari sample pertama, sample ketiga ditentukan berdasarkan informasi dari sample kedua, dan seterusnya sehingga jumlah sample semakin besar, seolah-olah terjadi efek bola salju. 

c) Quota sampling (penarikan sample secara jatah). Teknik sampling ini dilakukan dengan atas dasar jumlah atau jatah yang telah ditentukan. Biasanya yang dijadikan sample penelitian adalah subjek yang mudah ditemui sehingga memudahkan pula proses pengumpulan data.

d) Accidental sampling  atau convenience sampling Dalam penelitian bisa saja terjadi diperolehnya sampel yang tidak direncanakan terlebih dahulu, melainkan secara kebetulan, yaitu unit atau subjek tersedia bagi peneliti saat pengumpulan data dilakukan. Proses diperolehnya sampel semacam ini disebut sebagai penarikan sampel secara kebetulan.

SEKIAN, SEMOGA BERMANFAAT,,,,,,,

LIMIT FUNGSI

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.

Limit fungsi yang akan kita bahas adalah limit fungsi trigonometri dan juga limit fungsi aljabar.

A.LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Seperti namaya limit fungsi ini menggunakan trigonometri didalammya.Trigonometri ini merupakan materi favorit kita semua.... favorit untuk apa..? untuk di tinggalkan..  Dalam limit  fungsi trigonometri kita harus paham dahulu rumus-rumus dasar limit trigonometri, berikut ini rumus dasar-dasarnya :

Adapun identitas trigonometri yang harus kita ketahui, karena akan berguna untuk mengerjakan soal-soal :

Contoh soal :

1. Tentukan hasil dari soal limit berikut

  Pembahasan

Cara pertama dengan rumus yang ada diatas, sehingga langsung didapatkan 

atau dengan cara kedua yang lebih panjang, memakai turunan, 3x turunkan jadi 3 dan sin 4x turunkan jadi 4 cos 4x, kemudian ganti x dengan nol 

2.Tentukan hasil dari soal limit berikut 

3.Tentukan hasil dari soal limit berikut

Pembahasan
Jika  1 − cos 4x menjadi  2 sin ² 2x, tentunya   cos 4x − 1   menjadi   − 2 sin ² 2x, sehingga

B. LIMIT FUNGSI ALJABAR

1.Untuk menentukan nilai limit dari fungsi aljabar dapat di lakukan dengan cara substitusi langsung.

Contoh soal :

  2.Dengan cara menyederhanakan bentuk.

Contoh soal :

3. Dengan Perkalian Sekawan
  
Cara ini digunakan apabila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.

A.  LIMIT FUNGSI ALJABAR TAK HINGGA.

1.Apabila  berbentuk pecahan

CONTOH SOAL :

2.Apabila dalam bentuk akar

Contoh soal :

Sekian materi limit fungsi, semoga bermanfaat untuk kita semua......